Powiemy, że funkcja jest różniczkowalna klasy jeżeli jest różniczkowalne klasy Odwzorowaniem stycznym funkcji w punkcie nazywamy odwzorowanie dane wzorem
gdzie jest takim wektorem, że
Uwagi (1) Odwzorowanie styczne funkcji w punkcie nazywa się też pochodną funkcji w punkcie albo różniczką funkcji w punkcie i oznacza lub podobnie.
(2) jest już funkcją z w może więc być różniczkowane w zwykły sposób.
(3) jest wektorem w Przekształcenie liniowe przenosi ten wektor w
(4) W szczególnym przypadku gdy są zbiorami otwartymi, to posługując się mapami powracamy do zwykłej definicji pochodnej.
(5) Odwzorowanie styczne spełnia regułę łańcuchową. Jeżeli jest różniczkowalne w punkcie a jest różniczkowalne w punkcie to różniczkowalne jest złożenie i
(6) Jeżeli jest różniczkowalne, to licząc odwzorowanie styczne dostajemy
(7) W szczególności dla współrzędnych wyznaczonych przez mapę dostajemy
Wynika z tego, że odwzorowania styczne stanowią bazę dualną do bazy naturalnej dla mapy W bazie tej możemy odwzorowanie styczne funkcji zapisać
(8) W dalszym ciągu będziemy powyższy wzór zapisywać w postaci
(dla uproszczenia piszemy zamiast ). Pozwala to nadać wielu wzorom klasyczną postać.