Przedstawienie we współrzędnych lokalnych -formę na -wymiarowej rozmaitości różniczkowej można lokalnie, tzn. w dziedzinie mapy przedstawić we współrzędnych wyznaczonych przez tę mapę w postaci
Ściślej rzecz biorąc po lewej stronie równości powinna stać forma różniczkowa obcięta do tj. ponieważ po prawej stronie równości stoją formy różniczkowe zdefiniowane na
Różniczkowanie form różniczkowych Pochodna zewnętrzna form na zbiorze otwartym Rozpatrzmy -formy na zbiorze otwartym Pochodną zewnętrzną nazywamy odwzorowanie zdefiniowane w następujący sposób:
(1) Jeżeli jest -formą to jej pochodną zewnętrzną nazwiemy jej różniczkę
(2) Dla formy różniczkowej w postaci kanonicznej dla definiujemy
Pochodną zewnętrzną nazywa się także różniczką zewnętrzną. Pochodna zewnętrzna jest innym niż forma różniczkowa dalekim uogólnieniem różniczki funkcji.
Pochodna zewnętrzna form na rozmaitości Rozpatrzmy formy różniczkowe zdefiniowane w dziedzinie pewnej mapy na rozmaitości różniczkowej Dla -form zdefiniowanych na definiujemy odwzorowanie w następujący sposób:
(1) Jeżeli jest -formą, to jako definiujemy różniczkę funkcji
(2) Dla która ma we współrzędnych lokalnych przedstawienie odwzorowanie definiujemy wzorem