Niech będzie -wymiarową rozmaitością różniczkową (zanurzoną w ). Wybierzmy mapę w otoczeniu punktu z parametryzacją Przestrzenią styczną do w punkcie nazywamy obraz przez pochodną parametryzacji gdzie -formą różniczkową na nazwiemy funkcję taką, że dla każdego . Zbiór -form różniczkowych na oznaczamy
Uwagi (1) Definicja formy różniczkowej na rozmaitości jest zupełnie analogiczna do definicji formy różniczkowej na zbiorze otwartym w Różnica polega na tym, że inaczej jest zdefiniowana przestrzeń styczna
(2) Przestrzeń styczna do -wymiarowej rozmaitości różniczkowej w jest -wymiarową podprzestrzenią liniową Wynika to z definicji rozmaitości różniczkowej w
(3) W szczególnym przypadku, gdy rozmaitość różniczkowa jest zbiorem otwartym w to za układ współrzędnych możemy wybrać identyczność na tzn. dane wzorem
Wówczas parametryzacja jest identycznością na i mamy
dla każdego Zatem
czyli powracamy do poprzedniej definicji przestrzeni stycznej.
(4) Mapa na -wymiarowej rozmaitości w otoczeniu punktu indukuje bazę przestrzeni stycznej daną wzorami
gdzie to baza standardowa którą nazywamy bazą naturalną dla mapy , albo bazą wyznaczoną przez mapę .