niech będzie kątem środkowym -tego wycinka, każdy z wycinków ma odpowiednio promień kąt środkowy i długość łuku Powierzchnia każdego wycinka jest zatem równa:
Sumaryczne pole wszystkich wycinków dane jest wzorem:
Zwiększając liczbę podziałów pola pod krzywą otrzymujemy coraz mniejsze katy i polepsza się przybliżenie. Dla mamy – powyższa suma przechodzi w całkę Riemanna: cnd.
Długość łuku krzywej we współrzędnych biegunowych Długość łuku (tj. długość wycinka) krzywej zdefiniowanej za pomocą funkcji biegunowej oblicza się sumując wzdłuż krzywej infinitezymalne jej fragmenty
gdzie oraz oznaczają współrzędne kątowe odpowiednio punktu początkowego i końcowego łuku krzywej; – pochodna zmiennej po
Dowód:
(1) Wyprowadzenie wzoru na długość łuku różniczkowego krzywej
W układzie współrzędnych biegunowych, powierzchnię wykresu funkcji można podzielić na trójkąty, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami znajdują się w biegunie, zaś 2 pozostałe: i są częścią wykresu i znajdują się obok siebie, przy czym długość pierwszego ramienia wynosi drugiego dla argumentu długość podstawy jest różniczką naszego łuku, a więc oznaczona jako zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami wynosi gdzie jest różniczką tegoż argumentu.