Założenie warunku (C*) nie jest tu istotne – te same własności mają funkcjonały dodatnie na dowolnych *-algebrach Banacha.
Reprezentacje
Ważnym narzędziem w studiowaniu (abstrakcyjnych) C*-algebr są ich reprezentacje. Reprezentacją C*-algebry nazywa się parę gdzie jest pewną przestrzenią Hilberta oraz jest *-homomorfizmem (tj. homomorfizmem algebr zachowującym inwolucję; dla dowolnego ) o wartościach w *-algebrze wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na ( z normą operatorową jest C*-algebrą). Szczególnie użyteczne okazują się reprezentacje o pewnych dodatkowych własnościach. I tak, o reprezentacji C*-algebry mówi się, że jest niezdegenerowana, gdy o ile tylko dla każdego jest takim elementem że to musi być wektorem zerowym; cykliczna, jeżeli istnieje taki element że zbiór jest gęsty w (wektor nazywany jest wówczas wektorem cyklicznym reprezentacji każda reprezentacja cykliczna jest niezdegenrowana); wierna, gdy jest monomorfizmem, tj. jeżeli to nieprzywiedlna, gdy rodzina operatorów nie ma wspólnej, domkniętej, nietrywialnej (tj.