Dodatniość operatora jest równoważna istnieniu takiego operatora że Właśnie tę definicję przenosi się na ogólne C*-algebry i definiuje się pojęcie elementu dodatniego w C*-algebrze jako takiego, który można przedstawić w postaci dla pewnego elementu C*-algebry Dla elementu C*-algebry następujące trzy warunki są równoważne: jest elementem dodatnim; widmo elementu zawiera się w nieujemnej półosi zbioru liczb rzeczywistych; istnieje taki element samosprzężony w C*-algebrze że

Zbiór elementów dodatnich w C*-algebrze tworzy stożek, oznaczany czasem symbolem Stożek ten jest domknięty i wypukły oraz spełnia warunek W stożku definiuje się porządek częściowy warunkiem wtedy i tylko wtedy, gdy element jest dodatni.

Funkcjonał liniowy na C*-algebrze jest nazywany dodatnim, gdy dla każdego elementu dodatniego z spełniony jest warunek Funkcjonał dodatni jest automatycznie ciągły (ograniczony). Funkcjonał dodatni o normie równej 1 nazywany jest stanem. Stan różnowartościowy nazywany jest wiernym.

Funkcjonał dodatni na C*-algebrze spełnia następujące warunki dla dowolnych elementów z

Powyższa nierówność jest więc pewną wersją nierówności Cauchy’ego-Schwarza.