różnej od i ) podprzestrzeni niezmienniczej. Dla reprezentacji następujące warunki są równoważne: jest nieprzywiedlna, jest liczbą zespoloną
jest gęste w w mocnej topologii operatorowej.
Istnieją dwa zasadnicze twierdzenia o reprezentacji C*-algebr: Twierdzenie Gelfanda-Najmarka mówi, że każda przemienna C*-algebra jest *-izomorficzna z C*-algebrą postaci dla pewnej lokalnie-zwartej przestrzeni Hausdorffa W istocie, przestrzeń jest przestrzenią Gelfanda C*-algebry (tj. transformata Gelfanda jest epimorfizmem). Twierdzenie Gelfanda-Najmarka-Segala mówi, że każda C*-algebra ma wierną reprezentację na pewnej przestrzeni Hilberta innymi słowy, każda C*-algebra jest *-izomorficzna z pewną pod-C*-algebrą algebry dla pewnej przestrzeni Hilberta
Aproksymowanie jedności, ideały, C*-algebry ilorazowe Każda C*-algebra ma aproksymowalną jedność składającą się z elementów samosprzężonych, tj. w każdej C*-algebrze istnieje taki ciąg uogólniony złożony z elementów samosprzężonych że dla dowolnego zachodzi
Rozważanie aproksymowalnych jedności jest zasadne w C*-algebrach, które nie mają jedności (gdy ma jedność można przyjąć ).