Poniższy, elementarny dowód pochodzi od L.T. GardneraL.T. Gardner, An Elementary proof of the Russo-Dye Theorem, „Proc. Amer. Math. Soc”. 90 (1984), s. 171.. Dowód. Niech oraz Wystarczy uzasadnić, że należy do domknięcia zbioru To sprowadza się jednak do pokazania, iż dla każdego element należy do domknięcia Rzeczywiście,
Ponieważ więc element jest odwracalny, skąd również jest elementem odwracalnym. Element jest więc postaci gdzie jest pewnym elementem unitarnym oraz
gdzie jest również unitarne. Dowodzi, to że Z powyższego wynika więc, że zawiera się w zbiorze który jest domknięty i wypukły, a więc zawiera domknięcie Równoważnie,
Ciąg elementów ze zbioru można zadać rekurencyjnie: – dowolny element oraz ciąg ten jest zbieżny do
Dodatniość, stany O operatorze na przestrzeni Hilberta mówi się, że jest dodatni (czasem ściślej: nieujemny), gdy dla każdego elementu z przestrzeni Hilberta spełniony jest warunek