dla dowolnej liczby zespolonej gdzie to funkcja gamma. Równanie to wiąże wartości funkcji dla zmiennych zespolonych i symetrycznych wobec siebie względem prostej krytycznej Z równania tego można również odczytać, że trywialnymi miejscami zerowymi funkcji są (ponieważ wtedy wartości funkcji i są skończone, a ). Jednocześnie, jeśli (jest dodatnią liczbą parzystą), to ponieważ w tych miejscach występują bieguny funkcji Ponadto, jeśli jest nietrywialnym miejscem zerowym to jest nim również Jeśli nie leży na prostej krytycznej, to są to dwie różne wartości, dlatego nietrywialne miejsca zerowa poza prostą krytyczną muszą występować w parach.
Przedstawimy poniżej trzy dowody prawdziwości równania funkcyjnego wg Titchmarsha (spośród aż siedmiu przedstawionych).
Dowód pierwszy (1.) W pierwszym dowodzie wyprowadzamy, a następnie korzystamy z postaci funkcji wykorzystującej całkę z funkcji
Wzór sumacyjny Eulera mówi, że dla dowolnej funkcji o ciągłej pochodnej zachodzi
Biorąc otrzymamy
Aby z lewej strony równania otrzymać funkcję Riemanna, chcemy aby Widzimy, że
Stąd
dla
Teraz skorzystajmy z szeregu Fouriera zbieżnego do części ułamkowej. Mamy
dla niecałkowitych.