Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse), w którym także: udowodnił meromorficzność tej funkcji; przedstawił i udowodnił równanie funkcyjne opisujące tę funkcję na całej płaszczyźnie zespolonej; wykazał zależność między rozmieszczeniem jej miejsc zerowych a liczbą liczb pierwszych; wysunął hipotezę Riemanna, określaną jako najważniejszy problem otwarty matematyki.
Funkcję dzeta stosuje m.in. analityczna teoria liczb.
Postacie funkcji Dla zmiennej o części rzeczywistej większej niż 1 Funkcja jest pierwotnie definiowana za pomocą szeregu. W swojej pracy Riemann udowodnił także postać
dla wykorzystując przy tym odwrotność funkcji gamma.
W perspektywie teorii liczb, zdecydowanie największą rolę odgrywa iloczyn Eulera funkcji zeta, będący postaci
gdzie oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych.
Przedstawienie funkcji dla to również:
gdzie oznacza część ułamkową. Postać tę można odczytać ze wzoru sumacyjnego Eulera.
Na całej płaszczyźnie zespolonej
Równanie funkcyjne Równaniem udowodnionym przez Riemanna, które opisuje zachowanie funkcji