Podstawiając pod całkę, otrzymamy
Upraszczając i korzystając z otrzymamy równanie.
Dowód drugi (2.) Dowód ten przeprowadzany jest ze szczególnym uwzględnieniem narzędzi analizy zespolonej.
Zacznijmy od udowodnienia szczególnej postaci funkcji (przedstawionej wcześniej w artykule). Całkując przez podstawienie, pokazujemy, że
więc dla mamy
gdzie przy trzeciej równości skorzystaliśmy z twierdzenia o całkowaniu wyraz po wyrazie, ponieważ występujący szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny, a ostatnia równość zachodzi, ponieważ występujący tam szereg jest zwykłym szeregiem geometrycznym.
Rozważmy całkę
mały|kontur Hankela
gdzie oznacza kontur Hankela (krzywą składającą się z prostej od do fragmentu dodatnio określonego (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) okręgu okrążając 0 i prostej od do ). Przyjęliśmy tutaj
gdzie logarytm jest rzeczywisty na początku konturu. Na zadanym okręgu mamy
i
dla pewnej stałej więc
Stąd, jeśli to przy wartość powyższej całki na części okręgu dąży do 0. Dlatego, zakładając dalej mamy
Dlatego
dla Jednakże całka zbiega jednostajnie na każdym skończonym obszarze płaszczyzny zespolonej.