Niech i będą liczbami porządkowymi. Na mocy twierdzenia Cantora o postaci normalnej możemy znaleźć liczby naturalne oraz oraz liczby porządkowe takie, że oraz
Określamy teraz sumę naturalną przez
Definicja produktu naturalnego jest trochę bardziej skomplikowana: traktujemy wyrażenia i jakby przedstawiały wielomiany zmiennej ω. Dla każdej pary liczb naturalnych rozważamy liczbę (zwróćmy uwagę, że w wykładniku potęgi mamy operację sumy naturalnej). Produkt naturalny jest zdefiniowany jako suma (w sensie +) wszystkich wyrażeń postaci uporządkowanych tak, że wykładniki maleją.
Obie operacje, i są przemienne i łączne. Zauważmy, że ale oraz ale
Przykład zastosowania W roku 1954 G.H. Toulmin udowodniłToulmin G.H., Shuffling ordinals and transfinite dimension, Proc. London Math. Soc., 4 (1954), s. 177–195., że jeżeli i są przestrzeniami regularnymi, to
gdzie ind oznacza mały wymiar induktywny oraz jest liczbą naturalną zależną od wymiarów przestrzeni i Gary Brookfield udowodniłBrookfield G., The Length of Noetherian Polynomial Rings. Communications in Algebra, 1532-4125, (31), Issue 11, 2003, s. 5591–5607.