Twierdzenie zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej a nie tylko dla całkowitych.
Postulat Bertranda – twierdzenie Czebyszewa
Czebyszew udowodnił następujące twierdzenie (patrz – rozdział 9, – rozdział 6.9): Twierdzenie Dla dowolnej liczby naturalnej większej od 1, między liczbami a istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza.
Dowód Wyżej zdefiniowaliśmy i odnotowaliśmy następujące trzy twierdzenia: Jeżeli to albo krótko: Jeżeli jest liczbą naturalną, oraz – liczbą pierwszą z przedziału to nie jest dzielnikiem współczynnika dla każdego rzeczywistego
Zdefiniujmy:
Twierdzenia dowiedziemy, pokazując, że
Otóż gdzie:
Dla liczba liczb pierwszych nie większych od jest mniejsza od Zatem gdy ma nie więcej, niż czynników, z których każdy jest ograniczony od góry przez Zatem:
oraz
Z drugiej strony jest największym z składników sumy Newtona przedstawiającej przy czym dwa składniki równe są 1, więc:
Przy tym nierówność jest ostra dla a co dopiero dla Dla takich nierówność po obustronnym pomnożeniu przez wyniknie z
czyli
czyli, po zlogarytmowaniu:
Z tego, że dla zachodzi otrzymujemy dla że:
Wystarczy zatem dowieść
czyli
Ponieważ to wystarczy dowieść, że:
co dla jest równoważne z: