Nierówność ta zachodzi dla każdego Więc twierdzenie zachodzi dla każdego Dla twierdzenie zachodzi, gdyż kolejne liczby pierwsze w następującym ciągu są mniejsze od podwojonego poprzednika:
Koniec dowodu.
Dla dowolnej, nieujemnej liczby całkowitej bez większego trudu można by dowieść nierówności:
lub słabszej
dla wszystkich gdzie stała C zależałaby od Nierówność ta zapewniłaby liczb pierwszych pomiędzy i dla wszystkich, dostatecznie dużych (dla ).
Metoda Czebyszewa Czebyszew wprowadził iloczyny odcinków kolejnych liczb naturalnych, i ich kombinacje iloczynowo-ilorazowe. Z jednej strony takie iloczyny dają się dokładnie szacować, a z drugiej, dobierając starannie ich kombinacje, uzyskuje się iloczyny w których gęsto jest od kolejnych liczb pierwszych w potędze 1.
Metodę Czebyszewa uprościł Srinivasa Ramanujan (patrz: Lew Sznirelman), który skupił się na środkowym współczynniku dwumianowym, czyli na podzielonym dwukrotnie przez Działa to dobrze w przypadku postulatu Bertranda, ze względu na odcinek pomiędzy daną liczbą naturalną i dwukrotnie większą. Jednak Czebyszew uzyskał mocniejszy wynik, gdyż zamiast proporcji 2 wystarczyła mu dowolnie ustalona powyżej 6/5 (patrz).