Powyższe współczynniki dwumianowe są składnikami sumy ze wzoru Newtona na Są więc one mniejsze od (ostro, bo w sumie Newtona występują też inne składniki). Tak więc mamy nasze pierwsze oszacowanie (od góry) iloczynu odcinka liczb pierwszych:
dla a nawet dla każdego Bardziej atrakcyjne byłoby oszacowanie iloczynu początkowego odcinka liczb pierwszych
Ale przynajmniej możemy powyższą nierówność przepisać w postaci:
dla każdego
dla każdego naturalnego
Twierdzenie
dla każdej liczby całkowitej Dowód Można sprawdzić bezpośrednio, że twierdzenie zachodzi dla Rozpatrzmy parzyste Wtedy Możemy więc indukcyjnie założyć, że twierdzenie zachodzi dla Zatem korzystając ze wcześniejszego oszacowania iloczynu odcinka (niepoczątkowego), które zachodziło dla każdego otrzymujemy:
Więc indukcja zachodzi dla parzystego przypadku. Dla nieparzystego mamy co pozwala nam stosować założenie indukcyjne dla (oraz znowu wcześniejsze oszacowanie):
Koniec dowodu
Uwaga.