Rozmieszczenie thumb|Liczby pierwsze na spirali Ulama thumb|Rozmieszczenie pierwszych 39131 liczb pierwszych Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne prawidłowości statystyczne, ale nie jest znany żaden wzór, który pozwalałby wyznaczać liczby pierwsze w sposób bardziej efektywny niż metoda Eratostenesa.
Kilka poniższych twierdzeń przybliża zagadnienia związane z badaniem rozmieszczenia liczb pierwszych na osi liczbowej.
Szereg odwrotności wszystkich liczb pierwszych Niech oznacza zbiór liczb pierwszych. Leonhard Euler udowodnił, że szereg liczbowy odwrotności wszystkich liczb pierwszych jest rozbieżny. Sugeruje to, że liczby pierwsze nie mogą być rozłożone zbyt „rzadko” na osi liczbowej. Rozbieżność tego szeregu daje też nowy dowód na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych.
Dowód twierdzenia Eulera
Niech
Ponieważ
to
dla dowolnego naturalnego Wystarczy zatem dowieść, że może być dowolnie wielkie.
Szereg geometryczny:
oraz rozkładalność liczb naturalnych na iloczyny liczb pierwszych, daje nierówność
Ale a więc:
zatem
gdy Koniec dowodu.
Franz Mertens uzyskał podobne oszacowanie także od góry.
Oszacowania iloczynu odcinka liczb pierwszych Jasne jest, że zachodzi podzielność oraz równość
Więc dla n > 1 otrzymujemy: Wiemy także, że