Cenę wypłaty w wysokości następującej w chwili wyliczamy w następujący sposób:
w szczególności, jeżeli wielkość wypłaty w chwili zależy jedynie od ceny akcji w chwili tzn. dla pewnej funkcji mierzalnej cena tej wypłaty jest równa
Podstawiając lub otrzymujemy wzory Blacka-Scholesa na wycenę europejskich opcji kupna i sprzedaży odpowiednio.
Równanie Blacka-Scholesa W obliczeniach numerycznych często cenę instrumentu pochodnego w modelu Blacka-Scholesa wylicza się, rozwiązując pewne równanie różniczkowe cząstkowe, tzw. równanie Blacka-Scholesa. Okazuje się, że cena na moment instrumentu finansowego o wypłacie zależnej jedynie od ceny akcji w chwili spełnia: ze znanym warunkiem końcowym
Wyprowadzenie Ze wzoru Itô otrzymujemy
Konstruujemy w chwili portfel w sposób następujący: pozycja krótka w jednym instrumencie pochodnym, pozycja długa w Wartość tego portfela w chwili to
stąd
Wstawiamy znane wyrażenia na otrzymując
Widzimy zatem, że proces ceny tak skonstruowanego portfela jest deterministyczny (zniknął człon zawierający ), zatem ten portfel jest pozbawiony ryzyka. Wobec założenia braku arbitrażu stopa zysku z tego portfela musi być równa rynkowej stopie bezryzykowej.