Musi być zatem spełnione
co możemy przepisać jako
Redukując z obu stron człon przenosząc na jedną stronę i porządkując, otrzymujemy równanie Blacka-Scholesa.
Aproksymacja za pomocą drzew dwumianowych Klasyczny model Blacka-Scholesa można przybliżać za pomocą modeli dyskretnych, tzw. drzew dwumianowych. Ciąg modeli dwumianowych przybliżających model Blacka-Scholesa konstruuje się następująco: Dzielimy odcinek na równych części długości Na każdym odcinku czasu przyjmujemy stopę procentową Konstruujemy proces w sposób następujący:
gdzie zaś
Wówczas proces otrzymany poprzez liniową interpolację procesu zbiega słabo w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku do procesu spełniającego
Oznacza to, że ceny Blacka-Scholesa wypłat zależnych jedynie od trajektorii ceny akcji, tzn. postaci można przybliżać za pomocą skonstruowanych jak wyżej modeli CRR.
Kalibracja modelu Jedynym nieznanym parametrem modelu jest współczynnik dyfuzji (zwany także zmiennością) Do obliczenia zmienności można stosować dwie metody: metoda zmienności historycznej, metoda zmienności implikowanej.
Zmienność historyczna Estymujemy parametr z historycznych cen akcji.