Długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych Przestrzenie nieeuklidesowe – to przestrzenie metryczne, stanowiące uogólnienie pojęcia przestrzeni euklidesowej, w ogólności -wymiarowe. Przestrzenie takie opisuje np. szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności Einsteina.
Odległość infinitezymalna między punktami: długość wektora łączącego punkt z infinitezymalnie odległym punktem zadana jest wzorem
gdzie to współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia ).
Długość krzywej
Jeżeli krzywa dana jest przez równań parametrycznych
gdzie – punkty początkowy i końcowy krzywej, to wektor infinitezymalnego przemieszczenia wzdłuż krzywej ma postać
Długość infinitezymalnego przemieszczenia jest pierwiastkiem z iloczynu skalarnego wektora z samym sobą, tj.
Długość łuku krzywej jest równa całce z długości tych infinitezymalnych przemieszczeń, tj.
czyli ostatecznie mamy
Uwaga:
Wyżej podane wzory na długości łuku krzywej w przestrzeniach 2D i 3D są szczególnymi przypadkami powyższego, ogólnego wzoru. Mianowicie:
(a) w układzie współrzędnych biegunowych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego (por.