jeden łuk cykloidy otrzymamy dla
Tw. Długość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącego się koła, tj.
Dowód: Pochodne funkcji oraz względem parametru mają postać:
Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru (2)
dla otrzymamy
Korzystając ze wzoru trygonometrycznego na różnicę kosinusów
otrzymamy
W granicach całkowania wyrażenie jest nieujemne, stąd otrzymujemy ostatecznie równość
Krzywe płaskie – opis biegunowy We współrzędnych biegunowych: jeżeli krzywa płaska jest wyrażona za pomocą współrzędnych biegunowych, tj. to wzór na długość krzywej ma postać:
Drugie wyrażenie odpowiada przypadkowi, gdy parametr jest równy współrzędnej kątowej, tj. wtedy
Krzywe w trójwymiarze – opis walcowy We współrzędnych walcowych wzór na długość krzywej ma postać:
Krzywe w trójwymiarze – opis sferyczny Niech będzie dana krzywa zdefiniowana za pomocą równań parametrycznych w układzie współrzędnych sferycznych, gdzie jest kątem mierzonym od dodatniej półosi oraz kątem azymutalnym. Między współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi zachodzą zależności
Stąd wyprowadza się wzór na długość krzywej we współrzędnych sferycznych: