Rozwój teorii równań różniczkowych Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy matematycy jak B. Riemann, H. Poincare, E. Picard, J. Hadamard, E. Goursat, a z polskich matematyków wymienić należy W. Pogorzelskiego oraz M. Krzyżańskiego, autora jednej z pierwszych monografii poświęconych równaniom różniczkowym cząstkowym. Wiek XX przyniósł dalszy bujny rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem nowych działów matematyki, zwłaszcza analizy funkcjonalnej. Jednak nadal znakomita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk fizycznych, które pierwotnie opisywały lub uczonych, którzy zajmowali się opisem matematycznym zjawisk fizycznych.
Ścisła definicja Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu nazywa się równanie postaci:
gdzie: – otwarty podzbiór -wymiarowej przestrzeni euklidesowej
– dana funkcja, – funkcja niewiadoma, – zbiór wszystkich możliwych pochodnych cząstkowych rzędu to -wymiarowy wielowskaźnik.
Całki pierwsze układu równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu Przypomnijmy następującą definicję: Całkami pierwszymi układu równań różniczkowych zwyczajnych
nazywa się funkcje powstałe z całkowania równań w powyższym układzie dla