Zachodzą własności (1–6), a w szczególności definiujące potęgę własności (2–3):
oraz
Dowodzi się również ciągłości i monotoniczności funkcji oraz tego, iż
Mając daną funkcję wykładniczą, definiuje się funkcję logarytmu naturalnego będącą przypadkiem szczególnym funkcji logarytmicznej, jako funkcją odwrotną do dla (stąd również i ona jest ciągła oraz monotoniczna). Następnie definiuje się potęgę wzorem
który czyni zadość wymaganym własnościom potęgi i jest dobrze określony dla oraz
Ujemna podstawa Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych dla oraz parzystego choć ma jedno dla nieparzystego. W oparciu o ten fakt często rozszerza się definicję pierwiastka (potęgi o wykładniku wymiernym) w następujący sposób: potęga ujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku całkowitym jest liczbą rzeczywistą, potęgi o wykładnikach wymiernych, których mianownik jest liczbą nieparzystą, określa się za pomocą pierwiastków.