to wystarczy skonstruować ciąg liczb wymiernych o granicy w i przyjąć
Z własności granic tak określona potęga niewymierna istnieje i spełnia żądane wcześniej własności (1–6). Potęgę rzeczywistą można też równoważnie zdefiniować jako
W obu przypadkach korzysta się z ciągłości.
Funkcja wykładnicza
Jeżeli to układ równań funkcyjnych (por. i ):
definiuje jedyną (wszędzie) ciągłą funkcję gdzie dla której zachodzi
Funkcję nazywa się funkcją wykładniczą o podstawie Z powodu dogodnych własności liczby (podstawy logarytmu naturalnego) przyjęło się definiować funkcję wykładniczą o tej podstawie, a następnie, za pomocą logarytmu naturalnego, definiuje się potęgowanie nieujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym. Jest on o tyle wygodniejszy od poprzedniej definicji, iż łatwo uogólnia się na liczby zespolone, a nawet inne struktury (np. macierze kwadratowe, zob. dalej). Funkcja (elementarna) może być zadana za pomocą szeregu potęgowego
który jest zbieżny dla dowolnego (a nawet ).