W ten sposób, definiując jako dla będącego liczbą pierwszą lub w każdym innym wypadku, Riemann był w stanie uzyskać dokładny wzór

gdzie:

dla funkcji Möbiusa i logarytmu całkowego przy czym oznacza sumę po wszystkich nietrywialnych miejscach zerowych funkcji zeta ( takich, że ).

Od tego momentu funkcję rozważano przede wszystkim z wykorzystaniem funkcji zeta.

Twierdzenie o liczbach pierwszych – Hadamard i Poussin W 1896 r. Jacques Hadamard i Charles Jean de la Vallée Poussin udowodnili, niezależnie od siebie, że funkcja zeta nie ma miejsc zerowych na półprostej Odkrycie to pozwoliło im udowodnić treść twierdzenia o liczbach pierwszych, tzn.

Oba dowody oparte były na pomysłach prezentowanych przez Riemanna oraz twierdzeniach analizy zespolonej.

Liczby pierwsze w ciągach arytmetycznych – Dirichlet Peter Gustav Lejeune Dirichlet uznawany jest za ojca analitycznej teorii liczb. Jako pierwszy udowodnił, że jeśli to ciąg arytmetyczny zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych.