Zamiast rozważać sumę po wszystkich liczbach naturalnych, możemy sumować tylko liczby niebędące wielokrotnościami 2. Aby to osiągnąć zauważmy, że szereg
sumuje wyłącznie wielokrotności 2, więc szereg
jest tym, którego poszukiwaliśmy. Postępując analogicznie, z powyższego szeregu możemy wyeliminować wszystkie wielokrotności liczby 3. Zauważmy, że szereg
zawiera wyłącznie liczby będące wielokrotnościami 3 i niebędące wielokrotnościami 2, zatem szereg
nie zawiera żadnych wielokrotności liczby 2 ani liczby 3. Kontynuując ten proces dla wszystkich liczb pierwszych, otrzymamy
Równoważnie, możemy stwierdzić, że
na całym obszarze czyli w którym szereg definiujący funkcję zeta jest zbieżny. Powyższa równość stała się punktem wyjścia dla Bernharda Riemanna. W swojej słynnej pracy z 1859 r. zdefiniował funkcję zeta jako
dla zespolonych, przy a następnie przedłużył analitycznie definicję na całą płaszczyznę zespoloną.