Dowód Dirichleta oparty był na analizie funkcji L, zdefiniowanych jako
gdzie jest liczbą zespoloną, a jest charakterem Dirichleta mod zdefiniowanym jako
dla pewnego Dirichlet był w stanie wykazać, że wartość w jest niezerowa, co stanowiło najważniejszą część dowodu.
Metoda łuków – Hardy i Littlewood Metoda łuków Hardy’ego-Littlewooda (lub Hardy’ego-Ramanujana-Littlewooda) powstała jako nowa metoda analizy problemów addytywnych poprzez odpowiednią analizę funkcji generujących. Oryginalnie, ta strategia rozumowania była rozwijana przez Godfreya Hardy’ego, Srinivasę Ramanujana i Johna Littlewooda w kontekście problemu Waringa. Ich prace rozważały szereg potęgowy
gdzie jest potęgą liczb rozważanych w problemie. Jeśli przez oznaczymy liczbę sposobów na przedstawienie jako liczb będącymi -tymi potęgami, widzimy, że
Niech będzie dodatnio zorientowanym okręgiem o środku 0 i promieniu Wówczas
Metoda Hardy’ego-Littlewooda opierała się na odpowiednim szacowaniu powyższej całki, w taki sposób, by pokazać, kiedy