całka Laplace'a funkcji skokowej Heaviside'a jest zbieżna tylko na półpłaszczyźnie , natomiast transformatę tej funkcji można rozpatrywać jako funkcję holomorficzną określoną na całej płaszczyźnie zespolonej, przy czym w punkcie funkcja ta ma biegun pojedynczy.
Wnioski:
Na pewno dla funkcji, które są oryginałami, istnieje półpłaszczyzna zbieżności, a więc i ich transformaty Laplace'a można rozpatrywać jako zbieżne na całej płaszczyźnie zespolonej - dlatego badanie, czy funkcja jest oryginałem wystarczy, by stosować do niej cały formalizm transformaty Laplace'a. Stąd też wynika znaczenie oryginałów. Powyższy wniosek dotyczy wszystkich innych funkcji, które mają półpłaszczyznę zbieżności.
Przykłady obliczeń mały|250x250px|Funkcja Heaviside’a;
Przykład 1. Transformata funkcji skokowej Oblicz transformatę Laplace'a funkcji skokowej Heaviside’a (tzw. funkcji jednostkowej), która przyjmuje wartość dla ujemnych chwil czasu, wartość dla chwili , zaś wartość dla dodatnich chwil czasu, tj.
Funkcja ta odgrywa szczególną rolę w teorii transformaty Laplace'a.
Rozwiązanie: Obliczamy:
przy czym w ostatnim kroku obliczeń podstawiono oraz skorzystano z wzoru Eulera (). Widać, że obliczana całka jest dla zbieżna i równa , zaś rozbieżna dla , a zatem .