Jako aksjomaty przyjmuje się prawo łączności (dostosowane do sytuacji, w której pewne morfizmy nie mają złożenia) oraz istnienie morfizmów tożsamościowychOto sformułowanie tej łączności: jeśli i istnieją, to i również istnieją i są równe; jeśli istnieje, to istnieje; jeśli istnieje, to istnieje. Istnienie tożsamości znaczy, że dla każdego morfizmu istnieją tożsamości i takie, że i istnieją.. Owe tożsamości mogą zastępczo pełnić rolę obiektów.
W języku złożeń (bez odwoływania się do argumentów i wartości funkcji) definiuje się w teorii kategorii podstawowe pojęcia, takie jak izomorfizm – jest to dowolny morfizm dla którego istnieje morfizm odwrotny tzn. taki, że oba złożenia i są odpowiednimi morfizmami tożsamościowymi, monomorfizm – jest to dowolny morfizm mający lewostronną własność skracania: jeśli to (w wielu przykładach kategorii są to iniekcje, funkcje różnowartościowe), epimorfizm – jest to dowolny morfizm mający prawostronną własność skracania: jeśli to (w wielu przykładach kategorii są to suriekcje, czyli funkcje „na”, jakkolwiek gdy morfizmami są funkcje ciągłe, to wystarczy, jeśli obrazem funkcji jest zbiór gęsty), obiekt początkowy – obiekt o tej własności, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm obiekt końcowy – obiekt o tej własności, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm