Obiektami mogą być zbiory, grupy lub inne twory matematyczne.
Aksjomatyczne ujęcie kategorii
Ogólna definicja kategorii jest aksjomatyczna, z pojęciami pierwotnymi: obiekt, morfizm, dziedzina morfizmu, kodziedzina morfizmu, składanie morfizmów. Zakłada się, że każdy morfizm ma dziedzinę i kodziedzinę co zapisujemy w postaci Złożenie takiego z morfizmem istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy Przyjmuje się też odpowiednio sformułowany warunek łączności tego składania. Przy tym ujęciu każdą półgrupę z jednością (czyli monoid) można traktować jako kategorię o jednym obiekcie. Klasę obiektów kategorii oznaczamy symbolem
Można też sformułować definicję kategorii inaczej, bez pojęcia obiektu, w sposób naśladujący definicję grupy, przyjmując następujące pojęcia pierwotneDefinicję tę sformułował S. Mac Lane, „Duality for groups”, Bulletin of the American Mathematical Society 56 (1950), 485-516, s. 495 .: 1) jest morfizmem, 2) złożenie istnieje i jest równe Definiuje się morfizmy tożsamościowe jako takie morfizmy że jeśli złożenie istnieje, to i jeśli złożenie istnieje, to