spełniających następujące warunki:

Wszystkie przekształcenia są zdefiniowane na pewnym ustalonym zbiorze i ich wartości też należą do

Jeśli przekształcenia i należą do to ich złożenie określone jako też należy do

Przekształcenie tożsamościowe z do należy do

Każde przekształcenie należące do jest wzajemnie jednoznaczne, tj. różnowartościowe i na a ponadto przekształcenie odwrotne też należy do

Jeżeli odrzucimy warunek to otrzymamy pojęcie półgrupy transformacji z tożsamością.

Jeżeli ponadto odrzucimy warunek zastępując przy tym warunki i warunkami

Jeśli przekształcenia i należą do to ich złożenie też należy do

Jeśli przekształcenie należy do to przekształcenia tożsamościowe na oraz na też należą do

to otrzymamy pojęcie kategorii przekształceń. Przekształcenia należące do kategorii nazywamy morfizmami. Jeśli jest morfizmem, to nazywamy obiektami, przy czym nazywa się dziedziną lub początkiem tego morfizmu, a jego kodziedziną lub końcemKodziedzina zawiera zbiór wartości danego przekształcenia. Mac Lane używa terminów: domain i codomain, ale bywaja też używane terminy: source and target..