Eilenberg i Mac Lane postawili pytanie: czy można podać ścisłe, matematyczne określenie owego intuicyjnego pojęcia naturalności izomorfizmu? Aby to zrealizować, zdefiniowali najpierw pojęcie kategorii, następnie pojęcie funktora z jednej kategorii do drugiej i podali definicję naturalnej transformacji funktorów i naturalnej równoważności funktorówNazwy kategoria i funktor były wcześniej używane przez matematyków w innych znaczeniach: w topologii kategorie Baire’a oraz w rachunku zdań funktory zdaniotwórcze..
W teorii kategorii można wyróżnić dziś jej część ogólną, w której fundamentalne jest pojęcie funktora sprzężonego, oraz rozmaite teorie dotyczące kategorii bardziej szczegółowych, z których najważniejsze są kategorie abelowe, ściśle powiązane z algebrą homologiczną.
Wprowadzenie w pojęcie kategorii Kategorie przekształceń Pojęcie kategorii jest uogólnieniem pojęcia grupy, w szczególności grupy przekształceń. Grupą przekształceń nazywamy dowolny zbiór przekształceńW zasadzie ogólne terminy: przekształcenie (ze zbioru w zbiór), funkcja, odwzorowanie, transformacja uznajemy tu za synonimy, a wybór, którego z nich się użyje, zależy od kontekstu i zwyczaju. Słowo „funkcja” rozumiemy tu w ogólnym sensie (por. np. Witold Kołodziej: Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, s. 31).