Własności (a1)-(a3) oraz (b1)-(b3) oznaczają, że jeżeli do należą zbiory , to należą ich sumy i iloczyny, i to nawet nieskończone, a także ich dopełnienia oraz różnice. Mowimy, że rodzina zbiorów jest zamknięta względem operacji przeliczalnego dodawania, przeliczalnego mnożenia oraz odejmowania.
Dowód:
(b1) na mocy (a1) i (a2).
(b2) na podstawie (a2) i (a3).
(b3) na podstawie (a2) i (b3).
σ-ciała generowane przez rodziny zbiorów σ-ciało generowane przez dowolną rodzinę Niech będzie dowolną rodziną podzbiorów zbioru przy czym nie musi być ona σ-ciałem. Wówczas istnieje jednoznacznie wyznaczone, najmniejsze σ-ciało zawierające każdy zbiór należący do rodziny Określa się ją jako część wspólna wszystkich σ-ciał zawierających Oznacza się ją i nazywa σ-ciałem generowanym przez rodzinę
Jeśli jest zbiorem pustym, to W przeciwnym przypadku zawiera ona wszystkie zbiory przestrzeni które można uzyskać z elementów za pomocą przeliczalnej ilości sum zbiorów, dopełnień i przekrojów.