Podobnie mierzalne okazują się podzbiory liczb rzeczywistych spełniające zadość odpowiednim aksjomatom dużych liczb kardynalnych. Powyższe aksjomaty są jednak w wielu zastosowaniach zbyt restrykcyjne i mają raczej znaczenie teoretyczne.
Definicje Niech będzie ustaloną przestrzenią.
Df. 1 σ-ciało Rodzinę zbiorów przestrzeni nazywa się σ-ciałem lub przeliczalnie addytywnym ciałem podzbiorów przestrzeni , jeżeli:
(a1) zbiór pusty należy do
(a2) dopełnienie zbioru należącego do należy do
(a3) suma przeliczalnie wielu zbiorów należących do należy do
Df. 2 Zbiory mierzalne Jeżeli dana jest przestrzeń oraz ustalone jest w niej σ-ciało to zbiory należące do σ-ciała nazywa się zbiorami mierzalnymi względem σ-ciała , -mierzalnymi lub po prostu mierzalnymi.
Df. 3 Przestrzeń mierzalna. Przestrzeń z miarą Parę złożoną z przestrzeni i określonego na niej σ-ciała nazywa się przestrzenią mierzalną.
Trójkę – nazywamy przestrzenią z miarą, gdzie – miara wprowadzona w przestrzeni.
Podstawowe własności Tw. Jeżeli jest σ-ciałem podzbiorów w przestrzeni , to:
(b1)
(b2)
(b3)