Ponieważ każda liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna, zatem:
po spierwiastkowaniu:
co kończy dowód dla .
Ponadto z podanej na początku nierówności wynika fakt, że średnie są równe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są takie same.
Przypadek
Następnie można udowodnić za pomocą indukcji, że jeżeli twierdzenie jest prawdziwe dla , to jest też prawdziwe dla :
Wynika stąd, że dla każdego naturalnego :
Pozostałe przypadki
Ponieważ ciąg nie jest ograniczony z góry, oznacza to, że każda liczba jest mniejsza od jakiejś liczby naturalnej będącej potęgą liczby 2.
Dzięki temu aby wykazać zachodzenie nierówności dla dowolnej ilości liczb, wystarczy wykazać indukcyjnie, że jeżeli jest ono prawdziwe dla to jest ono także prawdziwe dla :
Niech . Wtedy
dalej:
Stąd wiemy, że nierówność między średnimi ma miejsce dla dowolnej ilości liczb, co kończy dowód.
Średnia geometryczna i harmoniczna Zgodnie z nierównością między średnimi arytmetyczną i geometryczną:
gdzie są dodatnie (z czego wynika, że ich odwrotności są dodatnie).
Funkcja
jest malejąca, więc po nałożeniu jej obustronnie na powyższą nierówność otrzymujemy:
co kończy dowód.
Średnia arytmetyczna i kwadratowa Dowód korzysta z twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych.
Rozważmy sumę: