Weźmy dowolny ciąg liczb rzeczywistych dodatnich: Możemy założyć bez straty ogólności, że jest on uporządkowany nierosnąco, ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany, ciąg ten jest wobec tego monotoniczny, a w szczególności jest jednomonotoniczny sam ze sobą. Następnie mnożąc kolejne elementy tego ciągu ‘po przekątnej’ i operację tę powtarzając razy, jak na przykładzie dla (mnożymy wyrazy tego samego koloru):
po dodaniu otrzymujemy:
zgodnie z twierdzeniem o ciągach jednomonotonicznych:
co po podzieleniu obustronnie przez daje żądaną nierówność:
Dowód przy użyciu nierówności Jensena Funkcja jest wklęsła w przedziale Z nierówności Jensena dla funkcji wklęsłej przy
otrzymujemy, że dla dowolnych liczb dodatnich zachodzi
Stąd:
Funkcja jest rosnąca, więc jest to równoważne:
co kończy dowód.
Dowód przy użyciu nierówności Muirheada Biorąc ciągi i z nierówności Muirheada otrzymujemy natychmiast:
czyli
Dowód indukcyjny Poniższy dowód opiera się na indukcji matematycznej w nietypowy sposób, gdyż stosuje się w nim indukcję wsteczną. Został on podany przed Cauchy'ego w jego dziele Cours d’analyse de l’École Polytechnique
Przypadek jest trywialny, gdyż średnia arytmetyczna i geometryczna są zawsze równe sobie.
Przypadki dwóch składników
Na początku udowodnijmy nierówność w przypadku dwóch składników tj.