nierosnącego ciągu liczb rzeczywistych dodatnich Zgodnie z twierdzeniem o ciągach jednomonotonicznych jest to największa suma, jaką możemy uzyskać poprzez mnożenie wyrazów podanego ciągu.
Po pomnożeniu jej przez otrzymujemy:
co zgodnie z nierównością jest nie mniejsze niż suma dowolnych sum powstałych w wyniku podobnego mnożenia.
Łatwo zauważyć, że iloczyn: jest sumą dokładnie takich sum, zatem:
dzielimy obustronnie przez
i wyciągamy obustronnie pierwiastek kwadratowy:
co kończy dowód.
Przykładowe zastosowania Ciąg dąży do 1 Przy użyciu nierówności między średnią geometryczną a arytmetyczną oraz twierdzenia o trzech ciągach można wykazać, że
Rzeczywiście,
skąd
Ponieważ
więc również
Zobacz też nierówność między średnimi potęgowymi nierówność Muirheada średnia kwadratowa średnia uogólniona
Przypisy
Linki zewnętrzne
M Kategoria:Średnie