Korzystając z definicji wektorów i rozkładając je w bazie kartezjańskiej mamy
gdzie – wersory układu kartezjańskiego, takie że Mnożąc powyższe wyrażenia przez siebie otrzyma się
przy czym w ostatnim wzorze wykorzystano ortogonalność bazy kartezjańskiej, cnd.
Iloczyn skalarny wektora Tensor metryczny pozwala obliczyć iloczyn skalarny dowolnych wektorów. W szczególności obliczymy iloczyn skalarny wektora nieskończenie małego przesunięcia. Niech: – wektor bazy układu współrzędnych w kierunku współrzędnej , – wektor nieskończenie małego przesunięcia w przestrzeni zapisany w tej bazie.
Ponieważ to kwadrat długości wektora wynosi:
Korzystając z konwencji sumacyjnej Einsteina mamy ostatecznie:
Własności tensora metrycznego Symetryczność (1) Tensor metryczny definiuje się tak, że jest on zawsze symetryczny, tj.
Jest to możliwe, gdyż w wyrażeniu dla każdej pary wskaźników mamy sumę dwóch wyrazów:
Gdyby to można dokonać symetryzacji przyjmując nowe wartości
(2) Ponieważ tensor o górnych wskaźnikach otrzymuje się dokonując obliczenia macierzy odwrotnej do macierzy to implikuje to natychmiast, że tensor jest symetryczny, tj.
Symetria góra-dół Z tensora można otrzymać tensory oraz odpowiednio przez podwyższenie pierwszego lub drugiego wskaźnika: