Ponieważ tensory oraz są symetryczne, to i z powyższych dwóch wzorów otrzymamy:
co oznacza, że istnieje symetria związaną z zamianą wskaźników góra-dół na dół-góra tensora metrycznego.
„Diagonalność” i współczynniki Lamego Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować wtedy można współczynniki Lamego: (nie ma sumowania).
Przykłady tensorów metrycznych Układ kartezjański 3D Element liniowy 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach, translacjach, odbiciach układu współrzędnych, tj. odległości punktów i obliczone w danym układzie i po dokonaniu transformacji
oraz
będą identyczne. Z tego względu stanowi niezmiennik geometrii. Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:
Można pokazać, że dowolna transformacja z wyżej wymienionych, np.