Dla przestrzeni euklidesowej mamy: Wtedy współrzędne kowariantne równe są kontrawariantnym oraz
Dowód: – wartość iloczynu skalarnego wektorów bazy – zapis wektorów w bazie
Stąd otrzymamy:
Stosując konwencję sumacyjną oraz zasady podwyższania/obniżania wskaźników, otrzymamy: c.n.d.
Definicja tensora metrycznego przez element liniowy (1) Niech będą dane dwa układy współrzędnych w n-wymiarowej rozmaitości różniczkowej: kartezjański krzywoliniowy
(2) Definiujmy element liniowy jako
(3) Można przejść od układu współrzędnych kartezjańskich do układu współrzędnych krzywoliniowych za pomocą transformacji:
gdzie – funkcje wyrażające współrzędne kartezjańskie przez krzywoliniowe.
(4) Jeżeli każda funkcja ma ciągłe pochodne względem wszystkich swoich argumentów, to ze wzoru na różniczkę zupełną otrzymamy
(5) Wstawiając te różniczki do wzoru na element liniowy otrzymamy
(6) Tensorem metrycznym nazywa się występujące w powyższym wzorze wielkości
(7) Wzór na element liniowy we współrzędnych krzywoliniowych przyjmie postać (przy czym zmieniono nazwy indeksów sumacyjnych)
(8) Stosując konwencję sumacyjną Einsteina, otrzymuje się uproszczony zapis
(9) Uwaga:
Powyżej wyprowadzony wzór na tensor metryczny
jest równoważny definicji tensora metrycznego za pomocą iloczynów skalarnych wektorów bazy
Dowód: