Z geometrycznego punktu widzenia wynika to ze wzajemnej odpowiedniości zbalansowanych zbiorów wypukłych i funkcjonałów liniowych oraz reguły równoległoboku charakteryzującej przestrzenie Hilberta wśród przestrzeni Banacha (por. twierdzenie Jordana-von Neumanna). Inną tego rodzaju charakteryzacją jest następujące twierdzenie: przestrzeń Banacha jest przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych trzech niewspółliniowych punktów wysokości wyznaczanego przez wspomniane punkty trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Kolejne charakteryzacje można znaleźć w pracy Pełczyńskiego.
Sumy proste Skończone sumy proste (1) Jeżeli są przestrzeniami Hilberta, to ich sumą prostą nazywa się przestrzeń Hilberta, która jest sumą prostą przestrzeni ma iloczyn skalarny dany wzorem:
gdzie:
tzn.