Ośrodkowe przestrzenie Hilberta (tj. zawierające przeliczalny podzbiór gęsty) mają znacząco lepsze własności od nieośrodkowych przestrzeni Hilberta: Dowolna przestrzeń unormowana nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych skończonego wymiaru jest liniowo izometryczna z pewną przestrzenią współrzędnych lub stąd można określić na nich strukturę unitarną (zob. twierdzenie Jordana-von Neumanna). Ponadto wspomniane przestrzenie są zupełne i ośrodkowe (ze względu na indukowaną z iloczynu skalarnego metrykę), a więc są przestrzeniami Hilberta. Co więcej istnieje jedna i tylko jedna (z dokładnością do izomorfizmu) ośrodkowa przestrzeń Hilberta nieskończonego wymiaru: wynika to z istnienia przekształcenia unitarnego między tego rodzaju przestrzenią Hilberta a przestrzenią (mianowicie wzajemnie jednoznacznego przekształcenia liniowego danego wzorem na mocy gdzie oznacza bazę ortonormalną).
Powyższe twierdzenie można uogólnić w naturalny sposób na dowolne przestrzenie Hilberta: przestrzeń Hilberta o ciężarze jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią w szczególności