Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału na przestrzeni Hilberta mówi, że każdemu elementowi (tj. każdemu ciągłemu funkcjonałowi liniowemu na ) odpowiada jednoznacznie taki element że
Odwzorowanie
dane wzorem
jest antyliniowym izometrycznym izomorfizmem. Zachodzi również twierdzenie odwrotne: jeśli dowolny funkcjonał ograniczony określony na przestrzeni unitarnej można zapisać wzorem dla pewnego to jest przestrzenią Hilberta (tj. jest ona zupełna).
Refleksywność Każda przestrzeń Hilberta jest refleksywna, tj. odwzorowanie
dane wzorem
jest „na”.
Dówod. Z twierdzenia Riesza (o reprezentacji ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta) wynika, że istnieje antyliniowy izometryczny izomorfizm
Niech będzie ustalonym elementem przestrzeni Wówczas funkcjonał dany wzorem
jest liniowy i ciągły oraz dla każdego elementu przestrzeni oraz dowolnego zachodzi:
a zatem
co oznacza, że odwzorowanie jest „na”, więc przestrzeń jest refleksywna.
Z drugiej strony, przestrzenie Hilberta są jednostajnie wypukłymi przestrzeniami Banacha, a więc na mocy twierdzenia Clarsksona-Milmana są refleksywne (jednostajna wypukłość wynika z reguły równoległoboku, która charakteryzuje przestrzenie unitarne). Przestrzenie Hilberta mają nawet mocniejszą własność – są one superrefleksywne.
Ośrodkowość