dodatnio określoną formą półtoraliniową).
Wybór iloczynu skalarnego nie wpływa na zupełność przestrzeni z indukowaną z niego metryką, co wynika z równoważności metryk (bądź norm) na przestrzeniach liniowych wymiaru skończonego nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych.
(2) W szczególności należą tu przestrzenie współrzędnych i z iloczynami skalarnymi danymi odpowiednio wzorami
gdzie: – wektory przestrzeni, oznacza sprzężenie zespolone liczby
Norma indukowana z iloczynu skalarnego dana jest wzorem
zaś metryka od niej pochodząca wyraża się wzorem
przy czym jest ona zupełna.
Przykłady klasyczne – przestrzeń Lp ciągów sumowalnych z kwadratem, – uogólnienia przestrzeni na dowolne zbiory indeksów – przestrzenie Lp zdefiniowane dla funkcji -całkowalnych z kwadratem, gdzie – dowolna miara, przestrzenie Sobolewa
Przestrzenie są szczególnymi przypadkami przestrzeni gdyż gdy jest miarą liczącą na zbiorze
Przestrzenie Sobolewa są jednym z podstawowych narzędzi w nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych.
Przestrzenie Hardy’ego znajdują zastosowania w analizie harmonicznej i analizie zespolonej.
Przestrzenie oraz są fundamentalne dla mechaniki kwantowej.
Własności Samosprzężoność