Гіпо́теза фон Не́ймана — спростована гіпотеза про структуру аменабельних груп.
Формулювання Будь-яка неаменабельна група містить підгрупу, ізоморфну вільній групі з двома твірними.
Історія 1929 року, працюючи над парадоксом подвоєння кулі, Джон фон Нейман увів поняття аменабельної групи. Він довів, що будь-яка група, що містить вільну підгрупу рангу 2 не є аменабельною. У 1950-х — 1960-х роках кілька математиків припустили, що істинне й протилежне. Хоча цю гіпотезу названо іменем фон Неймана, перша публікація з її формулюванням належить Махлону Маршу Дею (1957). Альтернатива Тітса, доведена 1972 року, дає позитивну відповідь у випадку, якщо група лінійна, тобто є підгрупою групи матриць над деяким полем. 1980 року спростував гіпотезу. Він показав, що монстр Тарського, який, як легко бачити, не має вільних підгруп рангу 2, неамінабельний. За два роки Адян показав, що певні бернсайдівські групи також дають контрприклад. Можливим контрприкладом є група Томпсона F, але досі не відомо, чи вона є амінабельною. Жодна з груп згаданих вище не є скінченно заданою. Протягом кількох років вважалося, що, можливо, гіпотеза істинна для наведених груп. Однак 2003 року, Ольшанський та побудували скінченно-представлені контрприклади. 2012 року Ніколас Монод знайшов простий контрприклад до гіпотези. 2013 року Лодха і Мур знайшли скінченно представлені підгрупи в прикладі Монода, які також дають контрприклад. Останній приклад є першим прикладом без кручення, він допускає задання з трьома твірними та дев'ятьма співвідношеннями. Лодха пізніше показав, що ця група задовольняє властивості тобто її K(G,n) простір має скінченне число клітинок кожної розмірності.
Посилання