Альтернати́ва Ті́тса — теорема про будову скінченно породжених лінійних груп. Названа на честь .
Формулювання Нехай скінченно породжена лінійна група над деяким полем. Тоді для виконується рівно одне з таких тверджень
Або майже розв'язна, тобто містить розв'язну підгрупу скінченного індексу. Або містить підгрупу, ізоморфну вільній групі з двома твірними.
Наслідки
Лінійна група не аменабельна, тоді й лише тоді, коли вона містить неабелеву вільну групу. Іншими словами, гіпотеза фон Неймана справедлива й для лінійних груп. Альтернатива Тітса є важливим компонентом у доведенні теореми Громова про групи поліноміального зростання.
Варіації та узагальнення Кажуть, що група задовольняє альтернативу Тітса, якщо кожна підгрупа майже розв'язна або містить неабелеву вільну підгрупу. Іноді у визначенні додатково припускають, що скінченно породжена.
Прикладами груп, що задовольняють альтернативу Тітса, є лінійні групи, а також:
Гіперболічні групи Група класів перетворень поверхні
Приклади груп, що не задовольняють альтернативу Тітса:
Група Григорчука ; Група F Томпсона .
Про доведення У доведенні розглядають замикання групи у топології Зариського. Якщо розв'язна, то й група розв'язна. В іншому випадку переходять до розгляду образу в компоненті Леві . Якщо вона некомпактна, то пінг-понг лема завершує доведення. Якщо вона компактна, то або всі власні значення елементів у образі є коренями одиниці, отже, образ скінченний, або можна знайти вкладення, для якого застосовна пінг-понг лема.
Примітки
Посилання