ε-мережа (епсилон-мережа, ε-щільна множина) для підмножини метричного простору — множина з того ж простору така, що для будь-якої точки знайдеться точка , віддалена від не більше ніж на .
Пов'язані визначення
Метричний простір, у якому для кожного існує скінченна -мережа, називається цілком обмеженим. Метрика на множині називається цілком обмеженою, якщо — цілком обмежений метричний простір. Сімейство метричних просторів таких, що для будь-кого існує натуральне число таке, що кожен простір допускає -мережу з не більш ніж точок називається універсально цілком обмеженим. Для таких сімейств виконується аналог теореми Громова про компактність. Топологічний простір, гомеоморфний цілком обмеженому метричному простору, називається метризованим цілком обмеженою метрикою.
Приклади
Для стандартної метрики множина раціональних чисел є -мережею для множини дійсних чисел для будь-якого . Множина цілих чисел є -мережею для множини дійсних чисел для .
Властивості
Метричний простір має еквівалентну цілком обмежену метрику тоді й лише тоді, коли він сепарабельний. Топологічний простір метризується цілком обмеженою метрикою тоді й лише тоді, коли він регулярний і задовольняє другій аксіомі зліченності. Метричний простір компактний тоді й лише тоді, коли він повний і цілком обмежений. У трохи загальнішому формулюванні, теорема Гаусдорфа про компактність стверджує, що для відносної компактності підмножини метричного простору необхідно, а в разі повноти простору і достатньо, щоб за будь-якого існувала скінченна -мережа з елементів множини .
Повний метричний простір компактний тоді й лише тоді, коли для будь-кого в ньому існує компактна -мережа.
Примітки
Література Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.