Перетворення Мелліна — інтегральне перетворення, яке можна розглядати як мультиплікативну версію двостороннього перетворення Лапласа. Це інтегральне перетворення тісно пов'язане з теорією рядів Діріхле і часто використовується в теорії чисел і в теорії асимптотичних розкладів. Перетворення Мелліна тісно пов'язане з перетворенням Лапласа і перетворенням Фур'є, а також теорією гамма-функцій і теорією суміжних спеціальних функцій.
Перетворення названо на честь фінського математика Ялмара Мелліна.
Визначення Пряме перетворення Мелліна задається формулою:
.
Обернене перетворення — формулою:
.
Передбачається, що інтегрування відбувається в комплексній площині. Умови, при яких можна робити перетворення, збігаються з умовами теореми оберненого перетворення Мелліна.
Зв'язок з іншими перетвореннями Двосторонній інтеграл Лапласа може бути виражений через перетворення Мелліна:
.
І навпаки: перетворення Мелліна виражається через двостороннє перетворення Лапласа формулою:
Перетворення Фур'є може бути виражено через перетворення Мелліна формулою:
.
Навпаки:
.
Перетворення Мелліна також пов'язує інтерполяційні формули Ньютона або біноміальні перетворення з твірною функцією послідовності за допомогою циклу Пуассона — Мелліна — Ньютона.
Приклади
Інтеграл Каена — Мелліна Якщо:
де функція визначена за допомогою головної гілки логарифму,
то (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)
, де — гамма-функція.
Названий на честь Ялмара Мелліна і французького математика Ежена Каена.
Перетворення Мелліна для просторів Лебега В гільбертовому просторі перетворення Мелліна можна задати трохи інакше. Для простору будь-яка фундаментальна смуга включає в себе . У зв'язку з цим можна задати лінійний оператор як:
.
Тобто:
.
Зазвичай цей оператор позначається і називається перетворенням Мелліна, але тут і надалі ми будемо використовувати позначення .
Теорема про обернене перетворення Мелліна показує, що
Крім того, цей оператор є ізометричним, тобто
для .
Це пояснює коефіцієнт
Зв'язок з теорією ймовірностей У теорії ймовірностей перетворення Мелліна є важливим інструментом для вивчення розподілу випадкових величин
Якщо:
— випадкова величина,
то перетворення Мелліна задається як:
де — уявна одиниця.
Перетворення Мелліна випадкової величини однозначно визначає її функцію розподілу .
Застосування Перетворення Мелліна є важливим для інформаційних технологій, особливо для розпізнавання образів.
Таблиця перетворень Мелліна +де: є функцією Гевісайда є є дельта-функцією Дірака є Дигамма-функція — дзета-функція Рімана
— константа Ейлера — область визначення функції
Примітки
Література