Рядом Діріхле називається ряд виду
де s і an — комплексні числа, n = 1, 2, 3, … .
Абсцисою збіжності ряду Діріхле називається таке число , що при цей ряд збігається; абсцисою абсолютної збіжності називається таке число , що при ряд абсолютно збіжним. Для будь-якого ряду Діріхле справедливе співвідношення (якщо і скінченні).
Цей ряд відіграє значну роль в теорії чисел. Найпоширенішим прикладом ряду Діріхле є дзета-функція Рімана, а також L-функція Діріхле.
Ряд названий на честь Густава Діріхле.
Приклади
Де ζ(s) — дзета-функція Рімана.
де μ(n) — функція Мебіуса.
де L(χ,s) — L-функція Діріхле.
Похідні Нехай
Тоді можна довести
у випадку збіжності правої сторони. Для цілком мультиплікативної функції ƒ(n), у випадку збіжності для Re s > σ0, тоді
збігається для Re s > σ0. В даній формулі позначає функцію фон Мангольдта.
Добуток рядів Нехай маємо ряди
і
Якщо F(s) і G(s) є абсолютно збіжними для s > a і s > b відповідно, тоді:
Якщо a = b і ƒ(n) = g(n) то
Див. також Список об'єктів, названих на честь Діріхле
Література Мандельбройт С. Ряды Дирихле. — М.: Мир, 1973
Tom M. Apostol. Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1989. ISBN 978-0-387-97127-8