У абстрактній алгебрі фактор-модулем називається новий модуль, який можна визначити для довільного модуля над кільцем i його підмодуля. Побудова фактор-модуля є аналогом побудови факторм-ножини, фактор-групи, фактор-кільця і фактор-простору.

Означення Нехай дано (лівий) модуль над кільцем і його підмодуль . На можна ввести відношення еквівалентності:

якщо і тільки якщо

для будь-яких . Елементами множини є класи еквівалентності

.

Сума двох класів еквівалентності у є класом еквівалентності еквівалентності суми представників двох класів; в схожий спосіб можна ввести множення на елементи . Конкретно:

i

для будь-яких і .

Таким чином отримує структуру модуля над Цей модуль називається фактор-модулем модуля по підмодулю .

Приклади

M/M є тривіальним модулем {0}. M/{0} є ізоморфним M. Нехай — кільце дійсних чисел i — кільце многочленів з дійсними коефіцієнтами, що, очевидно, є -модулем. Розглянемо підмодуль

модуля тобто підмодуль всіх многочленів, що діляться на . Відношення еквівалентності для цих модулів задається як: якщо і тільки якщо залишки від ділення і на є однаковими.

Зокрема у фактор-модулі многочлен переходить у той же клас, що і i фактор-модуль можна розглядати як похідний від при ототожненні . Фактор-модуль є ізоморфним із дійсним векторним простором комплексних чисел.

Властивості

Фактор-модуль є гомоморфним образом модуля для гомоморфізма ядро якого є рівним і яке можна записати як

. Відображення називається проєкцією модуля на фактор-модуль .

Теореми про ізоморфізми: для двох підмодулів модуля : .

для підмодуля виконується .

Кожен гомоморфізм R-модулів ядро якого містить N у єдиний спосіб розкладається через M/N, тобто існує єдиний гомоморфізм R-модулів для якого .

Навпаки, нехай існує R-модуль P і сюр'єктивний гомоморфізм Якщо для кожного гомоморфізма R-модулів ядро якого містить N існує єдиний гомоморфізм для якого то . Таким чином дана властивість повністю характеризує фактор-модуль. Вона називається універсальною характеристикою модуля.

Фактор-модулями скінченнопороджених модулів і модулів скінченної довжини є скінченнопороджені модулі і модулі скінченної довжини. Нехай — два модулі над комутативним кільцем і — їх підмодулі. Тоді для тензорного добутку виконується властивість де — підмодуль у породжений елементами виду і для довільних Якщо — мультиплікативна множина у комутативному кільці то для локалізації Якщо є -алгеброю (асоціативною з одиницею), то ,

де є образом у .

Якщо є (двостороннім) ідеалом у , то фактор-модуль є фактор-кільцем .

Література