В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця за допомогою деякого його ідеалу . Позначається .
Визначення
Нехай — кільце, а — деякий його (двосторонній) ідеал і . На можна задати відношення еквівалентності : тоді і тільки тоді, коли . Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця: Тоді тобто . Якщо то також , тобто з випливає . Якщо та то також , тобто з та випливає .
Отже відношення є рефлексивним, симетричним і транзитивним, отже є відношенням еквівалентності.
Нехай
позначає клас еквівалентності елемента . Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається .
На даній множині можна ввести операції додавання і множення:
Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай та . Тоді та . Звідси та . Оскільки одержується та , що доводить несуперечливість визначення.
Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця за ідеалом .
Приклади
Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів і самого кільця . є ізоморфним до , а є тривіальним кільцем .
Нехай — кільце цілих чисел, а — кільце парних чисел. Тоді фактор-кільце має лише два елементи, що відповідають множинам парних і непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами, . Більш загально можна розглянути фактор-кільце , що є ізоморфним кільцю лишків за модулем .
Нехай кільце многочленів від змінної з дійсними коефіцієнтами, і ідеал складається з усіх добутків многочлена на інші многочлени. Фактор-кільце є ізоморфним полю комплексних чисел , і клас еквівалентності відповідає уявній одиниці .
Узагальнюючи попередній приклад, фактор-кільце можна використати для побудови розширення поля. Нехай — деяке поле і незвідний многочлен в .Тоді є полем, що містить .
Властивості
Якщо — комутативне кільце то кільце теж є комутативним. Обернене твердження невірне. Теорема про гомоморфізм кілець: Якщо — епіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм) кільця на кільце , то ядро є ідеалом кільця , причому кільце ізоморфне фактор-кільцю .
Навпаки: якщо — ідеал кільця , то відображення , визначене умовою є гомоморфізмом кільця на з ядром .
Ідеал кільця є простим (максимальним) в тому і лише у тому випадку, коли фактор-кільце є областю цілісності(полем). Між ідеалами кілець і існує тісний зв'язок. А саме ідеали знаходяться у взаємно однозначній відповідності із ідеалами кільця , що містять ідеал як підмножину. Якщо такий ідеал кільця йому ставиться у відповідність ідеал кільця . До того ж фактор-кільця і є ізоморфними через природний гомоморфізм , для якого
Див. також Фактор-множина Фактор-група Фактор-простір
Посилання Фактор-кільце на сайті PlanetMath.
Джерела Українською
Іншими мовами